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Nachdenkliches Mädchen vor Schultafel
© Ramona Heim - fotolia

Terme und Gleichungen lösen: So wird es leicht gemacht!

4 hilfreiche Tipps mit Beispiel!

Gleichungen sind erstmals Thema im Mathematikunterricht der 7. und 8. Klasse. Das Verstehen dieses Stoffs ist wichtig, da viele mathematische Aufgaben auch in den Folgejahren (beispielsweise Funktionen, Differenzial- und Integralrechnung) nur zu lösen sind, wenn die mathematischen Zusammenhänge verstanden sind und angewendet werden können. 

Expertenrat von 

Die Verzweiflung vieler Schüler beim Thema „Gleichungen“ kann man an Beiträgen in vielen Internetforen erkennen. In der Ratgeber-Community gutefrage.net fanden wir beispielsweise folgenden Eintrag:

„hi, ich habe gerade in der schule das thema terme und gleichungen (klasse 8). aber meine mathematik lehrerINN erklärt uns das so, dass wir es NCHT lernen. kein schüler kann sie leiden. jedenfalls kann mir jmd. eine seite oder ein link hinschreiben, wo diese sachen richtig gut und ausführlich erklärt werden? ihr selber dürft das auch tun. danke jedenfalls vorher schonmal …:)“

Bevor man sich jedoch einem mathematischen Thema erfolgreich nähern kann, müssen immer sämtliche Fachbegriffe vorab geklärt sein. Beim Thema „Gleichungen“ trifft Ihr Kind mindestens auf die folgenden vier wichtigen Begriffe:

Gleichungen, Terme, Variablen und Äquivalenzumformung

Bei wikipedia gibt es dazu eine schöne Definition:

„Eine Gleichung ist in der Mathematik eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens („=“) symbolisiert wird. Formal hat eine Gleichung die Gestalt T1 = T2 mit zwei Termen T1 und T2. Gleichungen sind entweder wahr beziehungsweise erfüllt (beispielsweise 1 = 1) oder falsch (beispielsweise 1 = 2).

Wenn zumindest einer der Terme T1, T2 von Variablen (einem Platzhalter für eine Zahl) abhängig ist, liegt nur eine Aussageform vor; ob die Gleichung wahr oder falsch ist, hängt dann von den konkret eingesetzten Werten ab. Die Werte der Variablen, für die die Gleichung erfüllt ist, heißen Lösungen der Gleichung.“

Dazu ein Beispiel einer Gleichung

x + 4 = 7 ist eine Gleichung,

x + 4 und 7 sind jeweils Terme,

x ist eine Variable bzw. ein Platzhalter.

Diese Gleichung ist schon auf den ersten Blick einfach zu lösen. Man überlegt, welche Zahl für die Variable x eingesetzt werden muss, um die Zahl 7 zu erhalten. Das ist die Zahl 3. Die Lösung lautet also: x = 3

Weiterführendes...
Häufig wird eine Äquivalenzumformung mit einem doppelten beidseitigem Pfeil dargestellt: <=>
Das deutet an, dass solche Umformungen in beide Richtungen vorgenommen werden können, ohne das Ergebnis zu verändern.

Um Gleichungen aufzulösen, bedient man sich der so genannten Äquivalenzumformung. Bei wikipedia findet man dazu folgende Definition:

„In der Mathematik bezeichnet Äquivalenzumformung (lat. aequus = gleich; valere = wert sein) eine Umformung einer Gleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt. Äquivalenzumformungen sind die wichtigste Methode zum Lösen von Gleichungen.“

Dabei stellt man beispielsweise durch Addition oder Subtraktion die Gleichung solange um, bis die Variable x auf einer Seite des Gleichheitszeichens allein steht. Um in unserem Beispiel + 4 auf der linken Seite wegzubekommen, zieht man von beiden Termen, also auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens jeweils die Zahl 4 ab:

x + 4 (– 4) = 7 (– 4)

Auf diese Weise erhält man die Lösung: x = 3

Tipp 1: Alles muss im Gleichgewicht bleiben!

Wenn Ihr Kind eine Äquivalenzumformung durchführt, um eine Gleichung zu lösen, muss es beachten, dass die Gleichung jederzeit im Gleichgewicht bleibt. Stellen Sie sich einen Gewichtheber vor. Nimmt man ihm nur auf einer Seite eine Gewichtscheibe ab oder legt eine weitere Scheibe hinzu, bekommt er Probleme, da die Hanteln nicht mehr im Gleichgewicht sind.
Nimmt man hingegen auf beiden Seiten die gleiche Gewichtsveränderung vor, bleibt die Hantel im Gleichgewicht – und der Gewichtheber hält die Balance.
Wenn Ihr Kind beim Lösen einer Gleichung den Wert auf einer Seite ändert, indem es eine Zahl oder einen Term addiert bzw. subtrahiert, dann muss es das auch auf der anderen Seite der Gleichung tun.

Beispiel: 5x + 3 = 4x + 7

Schritt 1:

x auf eine Seite bringen, indem 4x auf beiden Seiten subtrahiert wird:

5x (– 4x) + 3 = 4x (– 4x) + 7

1x + 3 = 7 (für 1x wird mathematisch fast immer einfach nur x geschrieben)

Achtung: häufiger Denkfehler!
5x bedeutet immer 5 mal x. Viele Schüler verrechnen sich, da sie 5x für 5 plus x halten. Das ist falsch. Solange kein anderes Rechenzeichen zwischen einer Zahl und einer Variable steht, wird multipliziert!

Schritt 2:

Nun wird x auf der linken Seite der Gleichung allein gestellt, indem die Zahl 3 auf beiden Seiten subtrahiert wird:

x + 3 (– 3) = 7 (– 3)

Lösung nach Schritt 2:

x = 4

Tipp 2: Das Ergebnis immer kontrollieren!

Dazu muss Ihr Kind das Ergebnis anstelle der gesuchten Variable in die Ausgangsgleichung einsetzen.

In unserem Beispiel: 

5x + 3 = 4x + 7
Das Ergebnis lautet: x = 4

Also wird der Wert 4 für x nun einfach in die Gleichung eingesetzt:

5 (· 4) + 3 = 4 (· 4) + 7

20 + 3 = 16 + 7

Lösung:

23 = 23

Somit ist bestätigt , dass die Lösung der Gleichung richtig ist!

Unser Zusatz-Tipp: Ihr Kind kann YouTube zum Verstehen mathematischer Zusammenhänge nutzen!
Nicht nur Gleichungen, sondern auch andere mathematische Zusammenhänge werden mittlerweile in tollen Videoclips auf YouTube erklärt und vor allen Dingen veranschaulicht. Gerade das für Schüler so wichtige Vorstellungsvermögen wird auf diese Weise angeregt.
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Kommentare zu "Terme und Gleichungen lösen: So wird es leicht gemacht!"

  • francis schreibt am 23.11.2013

    Wie loesst man solche aufgaben mit restriktionen, wie zb. Eine sorte arabica kostet dem kaffeehaendler 9.5€ pro kg, und die sorte brasilia kauft er fuer 12 € pro kg.wieviel muss er von jeder sorte nehmen, um 20kg einer mischung zu erhalten, die ihm 10 € pro kg kostet?
    Wenn sie gute ideen haben, dann wuerde ich sofort das abo loesen.danke
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